Résoudre toutes les équations différentielles linéaires

Ce sont toutes les équations du type : af + bf '+cf ''+df '''+...=E , un polynôme différentiel que l'on va factoriser

Cette méthode est une application d'une propriété des noyaux de polynômes d'endomorphismes, les éléments qui annulent ces polynômes. Je l'ai relue en mai 2012 sur le cours : Mathématiques 2ème année, édition Dunod, 2001. Nous pouvons également résoudre les polynômes de suites.

Un peu de théorie : l'endomorphisme que nous allons utiliser est l'opérateur de dérivation D, tel que
(X)(D)(f)=D(f)=f ', (X²)(D)(f)=D²(f)=DoD(f)=D(f ')=f ''.
On l'appelle endomorphisme principalement parce que la forme (morphe) de l'image est identique à la forme de l'antécédent : D(f+g)=f ' + g '=D(f)+D(g), D(kf)=kD(f).
Et aussi que D(f) reste à l'intérieur (endo) de l'ensemble de f, par exemple l'ensemble des fonctions continues à dérivées continues.

L'astuce, c'est qu'en factorisant un polynôme d'endomorphisme P(D) en polynômes P_i(D) premiers entre eux, chercher les racines f telles que P(D)(f)=0 revient à chercher les racines f_i des P_i(D)(f) qui sont plus simples et faire leur somme.

C'est pas beau ça ?

Exemple : En terminale on n'apprend pas à résoudre l'équation différentielle correspondant au circuit R,L,C qui est de la forme af ''+bf '+cf=E. Ce qui donne aD²(f)+bD(f)+cf=E puis (aX²+bX+c)(D)(f)=E (1)

La solution de cette équation est la somme de :
1. une solution particulière de (1) E/c
2. les solutions de (aX²+bX+c)(D)(f)=0 (2)

Le polynôme caractéristique est aX²+bX+c.

Si Δ ≠ 0 il y a deux racines réelles ou complexes x₁ et x₂.

(2) ⇔ a(X-x₁)(X-x₂)(D)(f)=0 ⇔ (X-x₁)(D)(f)=0 ou (X-x₂)(D)(f)=0
 C'est ici que l'astuce joue : nous nous sommes ramenés à deux équations différentielles plus simples.
⇔ D(f)-x₁f=0 ou D(f)-x₂f=0 ⇔ f '-x₁f=0 ou f '-x₂f=0
⇔ f₁=A₁e^x₁x ou f₂=A₂e^x₂x

La solution est f=E/c + f₁ + f₂ =E/c + A₁e^x₁x + A₂e^x₂x .

Si Δ = 0 nous avons une racine double x₀ réelle.
(2) ⇔ a(X-x₀)²(D)(f)=0
En posant f(x)=e^x₀xg(x), on trouve (2) ⇔ (X-x₀)²(D)(e^x₀xg)=0
⇔(X-x₀)(D) o (X-x₀)(D)(e^x₀xg) Le carré devient une composition de polynômes.
⇔ (X-x₀)(D)(e^x₀xg')=0 ⇔ (e^x₀xg'')=0 ⇔ g ''=0 ⇔ g=Ax+B.

Ainsi la solution est f=E/c + (Ax+B)e^x₀x.