La dérivation (3) : les formules

Les formules des dérivées sont issues de la formule du chapitre précédent :

Si C : f(x)=10, c'est à dire une droite horizontale de hauteur 10, la pente de la tangente en n'importe quel point A est 0 car f(x) - f(x_A) = 10 - 10 = 0 et la limite de 0 divisé par x - x_A quand x tend vers x_A est 0. On retrouve bien que la dérivée d'une droite est sa pente, sur une droite la tangente étant la droite elle-même.

Faites le calcul pour D : f(x)=2*x+1. La pente de cette droite étant 2, vous devriez trouver 2 pour la dérivée en toute logique.

Maintenant regardons C : f(x)=x² et appliquons la formule.
Nous trouvons après factorisation et simplification de x² - x_A²=(x - x_A)(x + x_A)
f ' (x_A)=2*x_A ou si l'on préfère f ' (x)=2*x.

Si x_A=2, f ' (2)=2*2=4 c'est à dire que la pente de la tangente notée T_A ou T₂ au point A d'abscisse 2 est 4.

De même on a f ' (0)=0, f ' (1)=2, f ' (3) = 6 ou encore f ' (-1)= -2.

En simplifiant le dénominateur grâce à la factorisation du numérateur, on trouve pour tout n entier (xⁿ) ' = n*x^n-1. Cette formule est aussi vraie pour n réel.