Les suites (1) : termes numérotés

Qu'est-ce qu'une suite ? Une succession numérotée d'éléments.
La première suite que nous avons apprise est la suite des entiers : 0 1 2 3 4 ... C'est celle-ci dont nous allons nous servir pour numéroter les éléments.

Exemple : U0 U1 U2 U3 U4 ... Le numéro est en indice, c'est à dire en petit sous la lettre et est appelé le rang. Le terme de rang 3 est U3, de même pour les autres.

La suite est notée (Un) qui est une contraction de (U0,U1,U2,...) : la famille des éléments de la suite, un peu comme si on avait un point avec une infinité de coordonnées.

Pour définir la suite nous avons besoins de deux choses :
1) Savoir où elle commence, le rang du premier terme. Généralement on donne aussi la valeur du premier terme.

2) Savoir comment elle continue et là nous avons deux solutions :
a)Formule de récurrence : Un+1=f(Un)
Nous pouvons définir le terme suivant en fonction des termes précédents. Pour la suite des entiers, le terme suivant est le terme précédent +1 :
U0=0 (premier terme, terme de rang 0),
U1=U0 +1=0+1=1,
U2=U1 +1=1+1=2,
U3=U2 +1=2+1=3,
U4=U3 +1=3+1=4...

C'est ce que l'on appelle la relation de récurrence.
La formule de récurrence est ici Un+1=Un +1 pour tout rang n positif. Plus généralement ici on ne verra que le terme suivant en fonction du terme précédent : Un+1=f(Un). (f comme "fonction")

b)Formule générale : Un=f(n)
La deuxième manière est de connaître directement le terme en fonction de son rang, c'est à dire son numéro. Ici, si n est le rang, la valeur des termes est donnée par la fonction f(n)=n :
U0=f(0)=0
U1=f(1)=1...
C'est ce que l'on appelle la formule générale ou formule explicite : Un=f(n)

Nous verrons dans les deux parties suivantes
-le cas des suites arithmétiques : au lieu d'ajouter 1 pour avoir le terme suivant, on ajoute un nombre fixe : la raison r. On "trafique" la suite de comptage.
-le cas des suites géométriques : au lieu d'ajouter, on multiplie par un nombre fixe : la raison q, pour avoir le terme suivant.

Leur grand avantage est qu'à partir de la définition par récurrence on peut connaître leur forme générale et même la somme des termes. Incroyable ? Voyez la suite de l'histoire !