Exponentielle et logarithme népérien.

Commençons par l'exponentielle.
Derrière ce nom un peu étrange, on a la notion de puissance.
Prenons la fonction f qui à x associe 2 puissance x.
f : x->2^x

f(-1)=2^-1=1/2
f(0)=2^0=1
f(1)=2^1=2
Si on remplace 2 par le nombre e=2.71..., on obtient la fonction exponentielle.
exp(x)=e^x

Pourquoi e et pas 2 ?
e est choisi de manière à faire en sorte que la dérivée de exp(x) soit égale à exp(x).
Je devrais passer par la formule de Taylor afin de continuer l'histoire, je le ferai dans un autre texte.

Lien entre exponentielle et logarithme népérien.
Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, notée exp.
C'est à dire que si exp envoie x sur y, alors ln envoie y sur x. On "revient en arrière".
exp(0)=1 donc ln(1)=0.
De même log(x) est réciproque de 10^x, racine carrée réciproque de carré, 1/x réciproque de 1/x.

Graphiquement la courbe de ln s'obtient donc en permutant les coordonnées des points.
Par exemple, le point (0;e^0)=(0;1) est sur la courbe de exp donc (1;ln(1))=(1;0) est sur la courbe de ln.

On a aussi exp(ln(x))=ln(exp(x))=x, les fonctions ln et exp se simplifient.

Propriétés de exp et ln.
Il en découle des propriétés sur ln qui viennent des propriétés de l'exponentielle, donc des puissances via une astuce de calcul que nous allons voir.

Rappel : exp(x)=e^x, e puissance x.

exp(a+b)=e^(a+b)=e^a x e^b=exp(a) x exp(b)
exp(a-b)=e^(a-b)=e^a x e^(-b)=e^a / e^b=exp(a)/exp(b)

Un "+" à l'intérieur de l'exponentielle devient "x" à l'extérieur et le "-" un "/". ln étant la fonction réciproque, la propriété devrait être contraire, voyons cela en prenant A=e^a et B=e^b

ln(AxB)=ln(e^a x e^b)=ln(e^(a+b))=a+b=ln(e^a)+ln(e^b)=ln(A)+ln(B)
ln(A/B)=ln(e^a / e^b)=ln(e^(a-b))=a-b=ln(A)-ln(B)

Pour être certain d'avoir compris, refaites ces deux calculs de tête, à l'oral ou sur papier.