Les équations différentielles

Elles sont l'une des extensions des dérivées.
Rappels :
1.Si f et u sont des fonctions, (f(u))'=u' f '(u) donc (e^u)'=u' e' ^u=u' e^u et (cos(u))'=-u'cos'(u)=-u'sin(u)

2.Dans tout le chapitre, nous allons généraliser certains éléments. Cela permet aux solutions d'avoir plus de marge de manoeuvre, c'est à dire de constantes que l'on pourra fixer suivant le contexte.
Par exemple y=1x+0 est une droite d'ordonnée à l'origine 0 et de pente 1. Si on la généralise, on otient y=ax+b et nous pouvons donc la faire passer par d'autres points, c'est la même chose pour les solutions qui suivent : nous avons une solution particulière que nous allons généraliser.

1) Les équations différentielles d'ordre 1
La plus simple est y'=y, nous allons partir de celle-ci afin de voir ce qui se passe quand on la modifie un peu.

a)y'=y
Une solution de cette équation est y=e^x car (e^x)'=e^x
y=Ae^x est aussi une solution, quelle que soit la constante A. C'est la solution générale de cette équation, c'est à dire qu'il n'y en a pas d'autres.

b)y'=ay
Une solution de cette équation est une fonction de laquelle a "sort" quand on la dérive.
Or d'après le rappel (e^ax)'=(ax)'e^ax=ae^ax=ay donc y=e^ax est solution.
De même que tout à l'heure, y=Ae^ax est la solution générale.

c)y'=ay+c
On va sommer la solution générale de y'=ay avec une solution particulière de y'=ay+c
Ici une solution particulière peut être une constante K, on l'injecte dans l'équation :
K'=aK+c
0=aK+c
K=-c/a
Ainsi la solution est y=Ae^ax - c/a

2)Equation différentielle d'ordre 2
La plus simple est y''=-y

a)y''=-y
Une solution est y=cos(x) car (cos(x))''=(-sin(x))'=-cos(x).
Comme tout à l'heure, y=Acos(x+c) est la solution générale.

b)y''=-by
Nous allons remplacer x par ax+c et regarder ce qui arrive.
(cos(ax+c))''=-a(sin(ax+c))'=-a² cos(ax+c) donc a=racine(b)
Ainsi y=Acos(ax+c) est la solution générale de y''=-a² y