Démonstration par récurrence

Soit P(n) une propriété au rang n, par exemple Un=Up+(n-p)xr.
Je veux montrer qu'elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à p (p comme "premier"), c'est à dire 
P(p) vraie, P(p+1) vraie, P(p+2) vraie...

1)P(p) vraie et Si P(n) vraie => P(n+1) vraie
D'abord un peu de logique, non ce n'est pas un gros mot, c'est un autre terme pour histoire, avec des règles particulières, d'accord, mais ici c'est du sens commun en langage mathématique.

a)Si ma propriété P(n) est vraie au rang p, on a :
-P(p) vraie.
De plus si on a :
-P(n) vraie => P(n+1) vraie pour tout n supérieur ou égal à p, alors
P(p) vraie => P(p+1) vraie => P(p+2) vraie => P(p+3) vraie => ...
Donc P(n) vraie pour tout entier n supérieur ou égal à p.


b)En pratique on vérifie :
-P(p) vraie (initialisation)
-P(n) vraie => P(n+1) vraie (hérédité)
Donc par récurrence P(n) vraie pour tout n supérieur ou égal à p.

Afin de rendre la démonstration plus facile, vous pouvez d'abord vous entrainer sur la rédaction de ce raisonnement général qui est assez intuitif mais dont il vaut mieux maîtriser la forme.

2)Passons à l'exemple :
P(n) est la propriété Un=Up+(n-p)r
Est-elle vraie pour une suite arithmétique de premier terme Up et de raison r ?

a)Vérifions P(p) :
Up=Up+(p-p) x r=Up+0 x p=Up, on a remplacé n par p dans la formule de la propriété P(n).
Donc P(p) vraie


b)Vérifions P(n) vraie => P(n+1) vraie :
On suppose P(n) vraie, or comme c'est une suite arithmétique de raison r :
Un+1=Un +r, formule de récurrence.
Un+1 =(Up+(n-p) x r) +r, d'après P(n).
Un+1=Up+(n-p+1) x r, factorisation par r. C'est exactement P(n+1) donc P(n+1) vraie

Ainsi P(p) vraie et P(n) vraie => P(n+1) vraie donc par récurrence
P(n) : Un=Up+(n-p) x r est vraie pour tout n supérieur ou égal à p si (Un) est une suite arithmétique de premier terme Up et de raison r.

Il reste à historifier tout cela dans d'autres exercices afin de bien comprendre et le tour sera joué :-)
A bientôt, n'hésitez pas à commenter.