Les suites (3) : géométriques, multiplier

1)Formule de récurrence : U_n+1=U_n × q
Le terme suivant s'obtient en multipliant le terme précédent par la raison q.

Quand on avance de 1 terme, on multiplie une fois par q, donc q¹.
Quand on avance de 2 termes, on multiplie une fois de plus par q : U_n+2=U_n × q²
Qand on avance de 10 termes, on multiplie 10 fois par q :
U_n+10=U_n × q¹⁰

2)Formule générale : U_n=U_p × q^n-p
Vous l'avez deviné si vous avez lu la page sur les suites arithmétiques, quand on va de U_p à U_n, on avance de n-p termes donc
U_n=U_p × q^n-p. Hop, c'est plié : c'est la formule générale !

3)Somme : S=U_p+U_p+1+...+U_n=U_p(1-q^n-p+1)/(1-q)
a)1+q+q²+...+qⁿ=(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)
La somme maintenant : comme je l'avais écrit précédemment, l'astuce n'est pas la même que pour les suites arithmétiques et en plus je n'ai pas d'histoire à vous raconter, snif pas de Gauss ici. Mais vous allez voir qu'elle est ingénieuse.

Toute l'astuce tient à cette distribution :
(1-q)(1+q+q²+...+qⁿ)=1+q+q²+...+qⁿ - (q+q²+q³+...+qⁿ+qⁿ⁺¹)
Vous ne remarquez rien ? Eh oui, il y a presque tous les termes qui s'annulent sauf le 1 et le qⁿ⁺¹. D'où :

(1-q)(1+q+q²+...+qⁿ)=1-qⁿ⁺¹ c'est à dire :
1+q+q²+...+qⁿ=(1-qⁿ⁺¹)/(1-q), on remarque au numérateur que la puissance de q est augmentée de 1 par rapport à la dernière puissance de q dans la somme.

Croyez-moi ou pas, mais c'est quasiment fini, dingue non ?

b)S=Up+Up+1+...+Un=Up(1-q^n-p+1)/(1-q)
S=Up+Up+1+...+Un=Up+(Up x q)+...+(Up × q^n-p) en factorisant par Up on retombe sur la formule plus haut :
S=Up(1+q+...+q^n-p)=Up(1-q^n-p+1)/(1-q)


Il me reste pour la page suivante à vous parler d'un raisonnement qui utilise les rangs, comme les suites et qui vous servira, notamment pour démontrer les formules : le raisonnement par récurrence, c'est à dire qui donne une propriété P(n+1) à partir d'une propriété P(n). Cela s'appelle par récurrence parce que le terme précédent nous permet de trouver le terme suivant là aussi.
Eh oui, le langage mathématique est difficile mais de temps en temps on y trouve une logique. A bientôt !