Les suites (2) : arithmétiques, ajouter

1)Formule de récurrence : Un+1=Un +r
Le terme suivant s'obtient en ajoutant la raison r au terme précédent.

2)Formule générale : Un=Up +(n-p)r
Comment obtient-on la formule générale ?
Tout d'abord on peut remarquer que lorsqu'on avance de 1, on ajoute 1xr.
Si on avance de 2 termes, on ajoute une fois de plus r donc Un+2=Un +2xr.
Si on avance de 10 termes, on ajoute 10 fois r donc Un+10=Un +10xr.
Inventez d'autres exemples pour vérifier que vous avez bien compris la mécanique.

Ainsi donc, si le premier terme est Up (p comme "premier") et que l'on souhaite aller jusqu'au terme Un, on avance de n-p termes, donc Un=Up +(n-p)r.
C'est la formule générale ! Utilisez cette formule en donnant des valeurs aux lettres afin de la manipuler, c'est à dire l'historifier.

3)Somme : S=Up+...+Un=(n-p+1)(Up+Un)/2
a)1+2+...+n=100x101/2
L'histoire que l'on m'a racontée est celle de Gauss quand il était en primaire. Je précise que Gauss est un Mathématicien célèbre qui était reconnu pour sa clarté d'esprit. Précoce le bougre...
Le maître qui devait certainement vouloir occuper ses élèves trop turbulents leur demanda de calculer la somme de tous les termes de 1 à 100. S=1+2+...+100. Imaginez le temps qu'il faut à raison de 10 secondes par calcul en moyenne : 1000 secondes de répit pour le professeur, ouf !
Mais voilà que Gauss une minute plus tard donne la réponse correcte. Impossible ! Il aurait fallu qu'il fasse plus de un calcul par seconde !

Alors il raconta comment il avait fait :
Si S est la somme de 1 à 100, on a
S=1+2+...+99+100 mais on a aussi
S=100+99+...+2+1, c'est à dire si on somme les deux lignes :
2xS=(100+1)+(99+2)+...+(99+2)+(100+1)=101+101+...+101+101=100x101
S=(100x101)/2=10100/2=5050

Fort, non ? Quand je vous disais qu'il était précoce (et avec un papa matheux aussi, ça aide).

b)S=Up+Up+1+...+Un=(n-p+1)(Up+Un)/2
Encore plus fort c'est que ce même principe marche pour les suites arithmétiques. Pourquoi ? Parce qu'il se trouve que pour passer d'un terme au suivant dans la première somme, on ajoute r, au lieu de 1 pour tout à l'heure, et on l'enlève dans la deuxième. Quand on fait la somme par colonne, ce qu'on a ajouté se compense avec ce que l'on a enlevé : 1+100=2+99=...=99+2=100+1=101.
De même Up+Un=Up+1+Un-1=Up+2+Un-2 etc...

S=Up+Up+1+...+Un-1+Un, on ajoute r pour passer d'un terme au suivant Up+1=Up +r ...
S=Un+Un-1+...+Up+1+Up, on enlève r pour passer d'un terme au suivant Un-1=Un -r ...
2xS=(Up+Un)+(Up+Un)+...+(Up+Un), (n-p)+1 fois=le décalage+le premier terme.
S=(n-p+1)x(Up+Un)/2

Voilà, fini pour les suites arithmétiques, les suites géométriques sont basées sur le même principe concernant la forme générale, mais l'astuce est différente pour la somme, ce serait trop simple sinon ! A tout de suite pour la suite des suites !