Primitive, intégrale, aire

1)Primitive : contraire de dérivée
a)F'=f
Une primitive d'une fonction f est une fonction F telle que F'=f
C'est l'opération contraire de la dérivée.
Donc prim(0)=K, prim(1)=x, prim(x)=1/2 x², prim(x²)=1/3 x³
Techniquement on peut ajouter une constante à toutes ces primitives car en les dérivant elle s'annule : (x+K)'=1+0 mais tant qu'à faire si on peut on choisit K=0, c'est plus simple.

b)PPP : Primitive Par Parties
Elle sert à trouver la primitive d'une fonction quand on ne la connait pas directement, par exemple prim(ln(x)).
Pour ne pas surcharger la formule qui va venir, posons U=prim(u) tout comme tout à l'heure on a posé F=prim(f).
(Uv)'=uv+Uv'
uv=(Uv)'-Uv'
prim(uv)=Uv-prim(Uv')

c)Application : prim(ln(x))=xln(x)-x
Rappel : ln'(x)=1/x
prim(ln(x))
=prim(1ln(x))=xln(x)-prim(xln'(x)
=xln(x)-prim(x/x)=xln(x)-prim(1)
=xln(x)-x

2)Intégrale de f : aire sous f
a)Aire sous la courbe
L'intégrale de a à b de f, notée ∫_a^bf(x)dx est l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses de a à b.

b)∫_a^bf(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)
C'est ici que la primitive intervient. L'aire sous la courbe de a à b est ainsi calculable explicitement.
Exemple : ∫_a^bx dx=aire sous la droite y=x entre a et b=[x²/2]_a^b=b² /2 - a² /2=(a-b)(a+b)/2=aire du trapèze de hauteur b-a et de bases de longueurs a et b.